The Duality Theorem for Min - Max Functionsst

The set of min-max functions F : R n ! R n is the least set containing coordinate substitutions and translations and closed under pointwise max, min, and function composition. The Duality Conjecture asserts that the trajectories of a min-max function, considered as a dynamical system, have a linear growth rate (cycle time) and shows how this can be calculated through a representation of F as an innmum of max-plus linear functions. We prove the conjecture using an analogue of Howard's policy improvement scheme, carried out in a lattice ordered group of germs of aane functions at innnity. The methods yield an eecient algorithm for computing cycle times. R esum e. L'ensemble des fonctions min-max F : R n ! R n est le plus petit ensemble de fonctions qui contient les substitutions de coordonn ees et les translations, et qui est stable par les op erations min et max (point par point), ainsi que par composition. La Conjecture de Dualit e aarme que les trajectoires d'un syst eme r ecurrent gouvern e par une dynamique min-max ont un taux de croissance lin eaire (temps de cycle), qui se calcule a partir d'une repr esentation de F comme innmum de fonctions max-plus lin eaires. Nous montrons cette conjecture en utilisant une it eration sur les politiques a la Howard, a valeurs dans un groupe r eticul e de germes de fonctions aanes a l'innni. On a ainsi un algorithme eecace pour calculer le temps de cycle. Version franc aise abr eg ee Nous munissons R n et l'ensemble des fonctions R n ! R n de l'ordre partiel usuel (composante par com-posante). Les bornes sup et inf sont not ees _ et ^, respectivement. Nous appellerons substitution une application F : R n ! R n de la forme F(x) i = x (i) ou est une transformation quelconque de f1; : : : ; ng (peut-^ etre non bijective). Une translation est une application de la forme: R n ! R n , x 7 ! x + u, avec u 2 R n. L'ensemble des fonctions min-max est le plus petit ensemble de fonctions R n ! R n contenant les substitutions et les translations, et qui est stable par les op erations binaires _; ^ et la composition. Les fonctions min-max comprennent les applications max-plus lin eaires, (cf. 4, 1, 15, 7]), qui sont de la forme …